1944'te Ankara'da orta üst sınıf bir ailenin çocuğu olarak doğan Ömer Kavur, ilkokulu İstanbul Kızıltoprak'ta bitirdi. Orta okulu Robert Kolej'de, liseyi Kabataş Erkek Lisesi'nde okuduktan sonra üniversite eğitimi için Paris'e gitti. Conservatoire Libre du Cinéma Français'de sinema, Sorbonne Haute École du Journalisme'de gazetecilik okudu. Teknik-pratik sinema eğitimini Sorbonne Üniversitesi'nde gerçekleştirdiği sinema tarihi yüksek lisansıyla bütünleyen Kavur, bu dönemde çektiği kısa filmlerle ilgi çekti ve çeşitli ödüller kazandı. Fransa yıllarında Alain Robbe-Grillet'ye yönetmen asistanlığı yapan Kavur yurda dönüşünde Boğaziçi Köprüsü ile ilgili bir belgesel çekti.
1974'te, bir teklifle Refik Halit Karay'ın aynı adlı eserinden uyarlama Yatık Emine'yi Necla Nazır'la filme çekti. Sansür baskısından kaçamamış, farklı ve başarılı bu ilk film, Kavur'un Türk sinemasındaki nev-i şahsına münhasır kariyerini muştuladıysa da sanatçı ikinci filmini çekebilmek için beş yıl beklemek durumunda kaldı.
1979'da çektiği Yusuf ile Kenan dönemin standart "toplumcu-gerçekçi" filmlerine alternatif oluşturan bir eserdi. Onat Kutlar ve Kavur'un etkileyici senaryosu uzerine kurulu, Kavur'un toplumun itilmişleri arasından çekip çıkardığı iki çocuğun hikâyesini yalın ve etkili bir sinema diliyle anlattığı bu eser uluslararası arenada da kabul gördü (Milan Film Festivali büyük ödülü). Kavur'un üçüncü filmi Ah Güzel İstanbul, bir yıl sonra Atıf Yılmaz'ın Mine adlı filmiyle kendisinin koyduğu kanunları yıkarak sinema gündemine oturacak Türkân Şoray'ın yerine, fahişe rolünü kabul eden Müjde Ar'ı gündeme taşıyacak ve onun seksenlerde sürdüreceği parlak kariyerini başlatacaktı. Kavur, Göl filmiyle, daha sonra sıklıkla ele alacağı türden psikolojik motiflere eğilmeye başladı.
1985'te çektiği Amansız Yol Kavur'un sinemasının ana motiflerinden "yolculuk" temasının en belirgin olduğu ilk dönem filmidir. Körebe ise, Göl'e benzer psikolojik bir gerilimi ele alır.
1987'de ise Kavur'un ilk başyapıtı Venedik Film Festivali'nde ses getirdi: Yusuf Atılgan'ın Anayurt Oteli'ni Macit Koper ve Serra Yılmaz'ın da yer aldığı bir kadroyla sinemaya aktaran Kavur Türk sinema tarihinin kimilerine göre en derinlikli "boğuntu" filmine imzasını atıyordu.
Bir yıl sonra çektiği ve "yolculuk" temasına bu kez hem içsel hem de dışsal anlamda geri döndüğü Gece Yolculuğu, Cannes Film Festivali'nde gösterilmiş ve beğenilmişti.
1991'de Orhan Pamuk'un "Kara Kitap" romanındaki öykülerden birinden hareketle çekilen Gizli Yüz Kavur'un ve Türk sinemasının başyapıtlarından biri kabul edilir. Kavur'un esrarlı, içe dönen yolculuk arayışının, yolculuğunun doruğu olan bu filmi, 1996'da Kavur'un "kendini tekrarladığı" eleştirilerini aldığı Akrebin Yolculuğu izledi. Bu film de Cannes Film Festivali'nin "Un certain regard" adlı bölümüne kabul edilmiştir. Kavur'un sinemasal kariyeri bu filmden sonra duraklamıştır.
2000'deki Melekler Evinin başarısızlığının ardından 2003'te gelen Karşılaşma Kavur'un eski gücünü yitirdiğinin göstergesi sayılabilir.
Kavur genellikle uluslararası prodüksiyonlar gerçekleştiren Alfa Film'in kurucusu ve sahibiydi. Uzun süre lenf kanseri sebebiyle tedavi gören Ömer Kavur, 12 Mayıs 2005'te Teşvikiye'deki evinde öldü.
