Mardin'in Midyat ilçesinde 1957 yılında doğan Veysi Şahin, ilk, orta ve lise eğitimini Midyat'ta tamamladı. İstanbul Teknik Üniversitesi İnşaat Mühendisliği Bölümünden 1983'te mezun olan Şahin, 1974-1980 yılları arasında Adalet Partisi Midyat Gençlik Kolları Teşkilatında görev aldı. Doğru Yol Partisinden 1999'da Mardin Milletvekili seçilerek 21. Dönem TBMM üyeliği görevinde bulundu. Şahin, 1999-2000 yılları arasında TBMM Plan ve Bütçe Komisyon üyeliği, 2000-2002 yılları arasında TBMM Bayındırlık, İmar, Ulaştırma ve Turizm Komisyonu üyesi, Türk Parlamenterler Birliği Yönetim Kurulu üyesi olarak görev yaptı.
AK Parti'nin adayı Şahin, 31 Mart 2019'da Midyat Belediye Başkanlığına seçildi.
Arapça ve İngilizce bilen Şahin, evli ve iki çocuk babasıdır.