Aziz Yeniay, 1963'te Malatya'da doğdu.
İlk, orta ve lise eğitimini Malatya'da; lisans ve yüksek lisans eğitimini Yıldız Teknik Üniversitesi İnşaat Mühendisliği bölümünde tamamlayan Yeniay, 1992 yılı ara seçimleriyle Güngören ve İstanbul Büyükşehir Belediye Meclisi üyeliği ile aktif siyasi hayatına başladı.
Sırasıyla Güngören, Esenler, Zeytinburnu belediyelerinde başkan yardımcılığı görevlerinde bulunan Yeniay, 2004-2014 yılları arasında iki dönem Küçükçekmece Belediye Başkanlığı görevini ifa etti.
Aziz Yeniay, evli ve 3 çocuk babasıdır.