Niyazi Alçay, 1965'te Aksaray'ın Eskil ilçesinde doğdu. İlk ve orta öğrenimini Aksaray'da, lisans eğitimini ise Kütahya Dumlupınar Üniversitesi İktisadi ve İdari Bilimler fakültesinde tamamlayan Alçay, 1997-2009 döneminde ilçede serbest muhasebeci mali müşavir olarak görev yaptı.
Saadet Partisi ve AK Parti Eskil İlçe Başkanlığı görevlerinde bulunan Alçay, 2004'te AK Parti'den Belediye Başkan adayı oldu ancak kazanamadı.
2009'daki yerel seçimlerinde aday olduğu MHP'den belediye başkanlığını kazanan Alçay, 2014'te AK Parti'den girdiği seçimi kazanarak ikinci dönem belediye başkanı oldu.
Alçay, evli ve 3 çocuk babasıdır.