Baba tarafından Avusturyalı olan Wöber, 27 Şubat 1960'ta Ankara'da doğdu. İstanbul Üniversitesi Hukuk Fakültesi ve Mimar Sinan Üniversitesi Devlet Konservatuvarı Tiyatro Bölümünde eğitim gördü. Devlet Tiyatroları Genel Müdürlüğü'nde tiyatroya başladı. Öğrencilik döneminde Şan Tiyatrosu, Kenter Tiyatrosu ve Yeditepe Oyuncularının oyunlarında roller aldı. 1988-1993 yılları arasında Adana Devlet Tiyatrosu, 1995-1998 yılları arasında ise İstanbul Devlet Tiyatrosu'nda müdürlük ve sanat yönetmenliği yaptı. Goethe Enstitüsü bursuyla iki kez Almanya'nın çeşitli tiyatrolarında incelemeler yaptı, çalışmalarında bulundu. 2001 yılında yeniden İstanbul Devlet Tiyatrosunun başına getirildi ve bu görevi 2009'a kadar sürdürdü.
Bir çok kesim tarafından bilinirliği Kurtlar Vadisi dizisinde ki efsane Tuncay Kantarcı karakteri ile olmuştur.
Osman Wöber, oyuncu ve sunucu Müge Wöber'in eşidir. Çiftin, Irmak adında bir kızları vardır.
25 Haziran 2022 tarihinde, Wöber'in kalp krizi sonucunda öldüğünü açıklandı. Vefatı üzerine 27 Haziran 2022 tarihinde İstanbul Devlet Tiyatrosu Mecidiyeköy Büyük Sahne'de tören düzenlendi. Cenazesi Teşvikiye Camii'nde kılınan öğle namazının ardından Kilyos Mezarlığı'na defnedildi.
